KYKY: Алексей, давайте начнем с вопроса о том, кто такие математики. Что нужно, чтобы человек мог уверенно сказать: «Я – математик»? Доказать новую теорему? Получить степень кандидата (доктора) наук? Или достаточно просто закончить мехмат? Считаете ли вы математиками, например, школьных учителей?

А. С.: Математиком я бы назвал того, кто грамотно и свободно владеет «начальной математикой». Причём есть три стадии этой самой «начальности»:

1. Школьная программа с элементами высшей математики;
2. Школа + программа первых двух курсов университетов;
3. Глубокое и всестороннее понимание математики, позволяющее читать научные статьи последних лет, но не какой-то конкретной и узкой тематики, а всех направлений.

Соответственно, и математики бывают трёх уровней.

Но даже человека, свободно владеющего уровнем 1 и не претендующего на большее, я готов считать математиком. В отличие, скажем, от того, кто написал сотни статей на очень узкую тему, имеет высокий «хирш», кучу званий и при этом неспособен разобраться в простейшей школьного уровня задачке, если она не в сфере его профессионального интереса. Таких «математиков» я видел очень много.

Сам я – математик уровня 1, тщетно пытающийся выйти на уровень 2. Собственных достижений значимого уровня не имею. Степень доктора физ-мат наук, однако, ношу.

KYKY: Какие самые известные из нерешенных на сегодняшний день математических задач?

А. С.: Некоторые люди думают, что математика уже закончилась в том плане, что математики доказали уже все, что возможно (ну, может быть за исключением пары-тройки теорем, вроде великой теоремы Ферма), и ничего нового в математике сделать практически нельзя. Это серьезное заблуждение! Существуют буквально сотни «отрытых» вопросов, решение которых актуально для дальнейшего развития современной математики. Я перечислю лишь несколько из них. Вот пять самых известных (на мой взгляд) нерешенных задач (подробнее о каждой – в конце интервью – прим. KYKY):

1) Задача о простых близнецах
2) Хроматическое число плоскости
3) Нечётные совершенные числа
4) Загадка Сиракуз
5) «Волшебная» (пифагорова) комната

Я часто читаю популярные лекции про открытые математические проблемы. Недавно, например, читал такую лекцию в Иркутске. Думаю, ее будет интересно посмотреть даже чистым гуманитариям. Но для этого читатель должен не пожалеть полтора часа своего времени. Обещаю, что никаких специальных знаний для понимания не потребуется.

KYKY: А дадут ученую степень человеку, если он случайно решит одну из этих задач?

А. С.: Конечно, дадут. Сразу же. Сразу докторскую. Я слыхал об одной защите – наверное, это была самая короткая защита на свете.

Соискатель:
– Я решил следующую задачу (формулирует кратко, ибо задача знаменитая).
Первый оппонент:
– Я проверил доказательство, ошибок не нашёл.
Второй оппонент:
– Я проверил доказательство, ошибок не нашёл.
Третий оппонент:
– Я проверил доказательство, ошибок не нашёл.
Совет единогласно голосует «за». Занавес.

Но такое возможно только в математике – в науке, в которой труднее всего быть шарлатаном (хотя и очень соблазнительно, и многие очень стараются ими быть). В области гуманитарных наук такая короткая защита невозможна в принципе – обязательно высказываются разные точки зрения, идут дебаты. Например, одна из легенд гласит, что выдающийся советский математик Колмогоров в студенчестве увлекался еще и историей. И вот однажды он сделал интересный доклад на семинаре по истории. Однако руководитель семинара хоть и признал полученные результаты, но отметил, что выводы не могут претендовать на окончательность, так как «в исторической науке каждый вывод должен быть обоснован несколькими доказательствами». И Колмогоров полностью ушел в математику – науку, в которой для окончательного вывода достаточно было одного доказательства.

KYKY: Почти все слышали про Великую теорему Ферма, которую математики всего мира не могли доказать около 300 лет. Как по-вашему, располагал ли сам Ферма коротким доказательством? И будет ли оно найдено?

А. С.: Здесь я удивлю читателей. В отличие от подавляющего большинства современных математиков, я полагаю, что Ферма действительно знал простое доказательство, просто поленился его записать. А человечество целиком находится в каком-то самообмане, «не с той стороны заходит». Я уверен, что короткое доказательство Ферма будет найдено, и это будет удар молнии, ядерный удар! Ибо оно действительно будет на две-три страницы.

KYKY: Вам приходится общаться с ферматистами, присылающими на рецензии странные или ошибочные доказательства Великой теоремы Ферма?

А. С.: Мне пишут слушатели моих видеолекций в среднем по 10-15 писем в неделю, и, увы, некоторые из этих писем написаны как раз такими вот шарлатанами и ферматистами. (Видимо, это происходит в качестве компенсации за тёплые письма с благодарностями за мои лекции, которые я также регулярно получаю!) План письма всегда один и тот же: «Алексей, я, конечно, не имею математического образования и не могу выражаться ясно и формульно. Но я решил/доказал (дальше выбирайте любую из проблем – неважно, решённых или нет). Проверьте, пожалуйста, моё решение, и укажите, если есть ошибка»… Дальше идёт бред сивой кобылы, не содержащей ни одного логически связного куска текста – ни в математическом, ни в каком-либо ином смысле слова». Что ими движет? Элементарное тщеславие, им кажется, будто они могут оказаться умнее всех.

KYKY: Если человек посылает явно бредовую статью в серьезный журнал, обязана ли редакция дать ответ и направить статью рецензенту? Сложно ли найти ошибку (должны же быть те, кто представляет весьма изощренные «доказательства»)?

А. С.: Я считаю, что сообщество математиков достаточно на сегодня выстроено, чтобы на явный бред просто ничего не отвечать (кроме того, что отвечаю я – «на покаяние»). Но, увы, некоторые журналы требуют детального отзыва. «Ошибка» – неверный термин, он относится к нормальному учёному, у которого действительно «вкралась ошибка». В случае этих людей весь текст состоит из яростного бреда, абракадабры, лишь с виду напоминающей математические выражения. К сожалению, несведущий в математике человек просто не в состоянии этого понять, к чему они и апеллируют («нас обижают враги народа, они не хотят, чтобы отечественный учёный что-то доказал» и т.п.). Это страшная чума. Разумеется, ни к какому патриотизму этот идиотизм отношения не имеет.

KYKY: В последнее время всех авторов научных статей буквально бомбят спамом с предложением послать материал в издательство. Обещают «рецензируемый печатный сборник трудов конференции», «сертификат участника», «размещение в РИНЦ» и т.д. Только вот публикация как правило платная, а конференция – заочная. В конечном итоге материалы множества таких конференций попадают на elibrary.ru вперемешку со статьями из ведущих научных журналов. Почему так происходит? Есть ли хоть какое-то доверие к подобным изданиям? Как отличить серьезную научную работу от псевдонаучного мусора?

А. С.: Отличить можно только по содержанию! К сожалению, отделить науку от мусора по формальным признакам нельзя в принципе – и, сколько критериев ни вводи, всё равно в итоге «показатель породит показуху»: вылезать наверх будут бессмысленные и неинтересные работы, выверенные и оформленные, однако, в полном соответствии с новыми требованиями, новыми стандартами и новыми критериями. Могу сказать на примере экономики, в которой работаю я – вся эта область целиком тонет, подобно огромному Титанику: всё меньше людей способны понять содержание, всё меньше людей имеют образование, достаточное для написания хороших работ. Они меньше изучают работы друг друга, а вместо этого разбиваются на «круги друзей» с порочным кругом взаимного цитирования.

Ничего тут сделать нельзя, и известный проект «Диссернет» дальше выявления явной липы и шарлатанства пойти не может – ибо дальше надо понимать. А этого нынче днём с огнём... Конечно, необходимую работу по очистке совсем уж авгиевых конюшен давно пора было проделать, но ни о каком повышении уровня научных работ тут говорить не приходится.

Просто на место шарлатанов и плагиаторов придут бездари, совершенно искренние и честные. Это – наше будущее!

Как говорит мой друг (тоже математик), в будущем всё будут делать роботы, а все люди будут математиками, писателями и художниками. Разумеется, при этом не все будут Перельманами, Шишкиными и Достоевскими.

KYKY: А вообще бывает так, чтобы человек без профильного образования или навыков заткнул за пояс профессиональных математиков?

А. С.: Все хотят чуда. Это так волнительно: американская домохозяйка обыграла всех математиков мира, придумав очередной тип пятиугольных замощений (между прочим, реальный случай). Но всё же она имела неплохое математическое образование. Подобные истории – страшная редкость, и в целом я убеждён: в нормальной ситуации такого не бывает. На второй вопрос ответ, напротив, таков: профессиональные учёные очень часто ошибаются. Но это нисколько не умаляет их работы, более того, сильные учёные ошибаются чаще слабых! Слабый учёный копает свою нору и копает, рискуя за её пределы вылезти. Где там место ошибке?

KYKY: Вы занимаетесь популяризацией математики, выступаете с лекциями. Приносит ли это хоть какой-то доход? Часто ли вас приглашают выступить за счет принимающей стороны?

А. С.: Я сейчас «прикрыт» Университетом Дмитрия Пожарского, в котором работаю ректором («Гена работал в зоопарке крокодилом»). Зарплаты хватает на меня, жену и четверых детей, хоть и без особого запаса (это не ректорская зарплата МГУ или даже просто государственного ВУЗа, ведь у нас – маленький частный университет). Мне не нужно зарабатывать популяризацией, так что своим любимым занятием я пока занимаюсь (по большей части) совершенно бескорыстно. Впрочем, случаются и «дорогие» приглашения. Отказываться от денег глупо, а вот драться за них я не умею и не люблю. Если меня зовут (а так обычно и бывает) просто приехать за счёт принимающей стороны (оплатят билеты, поселят), то гонорара мне как правило не платят. Часто езжу за счёт Университета, но тогда обязательно провожу «день открытых дверей».

KYKY: Много ли отнимает времени подготовка к выступлению?

А. С.: Готовлюсь к выступлениям на лыжне (летом – на бегу), то есть «настраиваюсь». Это скорее занимает много эмоций, нежели времени и бумаги. Иногда делаю очень краткий конспект, но всё равно от него убегаю, как только начинаю выступать. Меня всегда «уносит в сторону», и я уже отчаялся когда-нибудь составить план лекции и строго его придерживаться. Кроме того, забыл сказать, часть дохода мне приносит работа в МФТИ – запись видеолекций на Coursera и Национальной платформе открытого образования.

KYKY: Какие из своих лекций вы считаете наиболее удачными и полезными?

А. С.: Самым удачным своим «детищем» я считаю, пожалуй, серию лекций «Математика для гуманитариев». Они были прочитаны впервые в 2014 году в Филипповской школе (Москва), расшированы добрыми людьми, и сейчас в свет готовится выйти книга «Математика для гуманитариев. Живые лекции». Черновой вариант книги уже доступен в электронном виде на сайте Университета Дмитрия Пожарского usdp.ru. В работе над ней принимает участие огромное количество людей, в том числе мои друзья, коллеги и, конечно же, жена — читают, «вылавливают» слабые места, вносят предложения по улучшению. Также одно из моих «дел жизни» — начитать школьную программу математики — так, как я сам её вижу. На этом пути родилась серия видеолекций «100 уроков математики», мы их записываем в той же Филипповской школе, уже записали больше половины!

KYKY: Надо ли популяризировать науку, в частности, математику? Если да – кто должен этим заниматься? Только профессионалы? Или достаточно немного знать предмет и иметь в запасе эффектные «заманухи» (показать пару интересных опытов, дать несколько нетривиальных теорем с коротким и понятным каждому доказательством, привести примеры современных технологий)? Не вредят ли популяризаторы-любители самой идее популяризации?

А. С.: Честно – не знаю. Если человек и правда в теме, он принесёт людям несомненную пользу, когда расскажет им своим языком о достижениях в своей области. Но, к сожалению (по крайней мере, в математике), ведущие учёные этим не занимаются – им это просто не интересно или банально некогда делать. Более того, некоторые из них (я знаю таких лично) полагают, что заниматься такой вот популяризацией (как я) – вредно, ибо таким образом как раз и плодятся шарлатаны, которых манит кажущаяся простота нерешённых проблем, понятность их постановок. Слушатели думают, что «математика вся такая простая». А ведь математика – сложнейшая не только из наук, но и вообще из всех видов человеческой деятельности! Я принял для себя такое решение: узнать достаточно много математики и «имитировать» изложение профессионала, не скрывая трудностей и заставляя слушателей напрягать мозги. Бог рассудит, кто из нас прав – я или мои товарищи, ругающие меня.

KYKY: В ушедшем году все научные (позиционирующие себя таковыми) паблики ВК взорвало открытие гравитационных волн. Но что это такое – никто из них толком не объяснил. С тем же успехом они могли обсуждать открытие «линейных слонопотамов» – все равно пользуются нерасшифрованной терминологией. А ведь люди (особенно школьники и молодежь) им верят хотя бы потому, что у них около 2 млн подписчиков (массовый эффект – не может 2 млн человек ошибаться). Прокомментируйте, пожалуйста, не станут ли «научные» паблики и Википедия аргументами в спорах молодежи (а ведь в таких пабликах постят явный для специалиста бред – астрономы заметили трещину на Солнце, число ПИ содержит ровно 3 млрд знаков после запятой и т.д.)?

А. С.: Конечно, это всё кошмар. Повлияет ли это на уровень науки? Безусловно, профанации будет всё больше, шарлатанов и психов – тоже. Что делать? Не знаю. Со своей стороны, я сопротивляюсь, как могу – в лекциях стараюсь не лукавить и никого не обманывать (если я где-то ошибся, готов это открыто признать – и такие случаи бывали, причем неоднократно). Но научить человека работать, думать головой – нельзя никак.

KYKY: Помогают ли современные технологии (в частности, компьютеры) математикам? Сможет ли компьютер когда-либо заменить человека в плане доказательств теорем? Не исчезнет ли сама профессия «математик»?

А. С.: Конечно, помогают! И я сейчас говорю не просто об упрощении рутинных вычислений. Например, некий профессор Коул в октябре 1903 года представил доказательство, что число составное, а не простое, как это подозревали до него почти 200 лет. Когда его спросили, сколько времени он потратил на это доказательство (оно состояло в подборе множителей 193707721 и 761838257287), Коул ответил: «Все воскресенья в течение трех лет». Конечно, сейчас такие вопросы решаются с помощью компьютеров очень быстро и не надо думать «все воскресенья в течение трех лет». Или вот еще один случай: контрпример к гипотезе Эйлера. Он был получен в 1966 году с помощью перебора на компьютере. Это, пожалуй самая короткая из известных мне научных статей по математике.

Компьютеры действительно помогают. Но никогда не заменят! Математика – это творческая область, в ней все откровения, если хотите – напрямую от Всевышнего.

Тот же друг, который уже упоминался выше и который говорит, что скоро будет очень много математиков (но не Перельманов и Эйлеров), утверждает, что занятие математикой – это прямой разговор с Богом. Этот мой друг – работающий алгебраический геометр. Он знает, о чём говорит. Я уверен – мёртвое никогда не заменит живое. Компьютер – это инструмент, облегчающий работу ученых и инженеров. И компьютерам недоступно то, что доступно нам. Никому в мире не известно, начинают ли цифры в десятичной записи чисел ПИ и Е совпадать с некоторой позиции после запятой. Компьютеры могут вычислить миллионы цифр, но это ничего не докажет! Если не будет совпадений даже после миллиардов миллионов цифр – не факт что совпадение не начнется потом. Ну а если совпадение начнется – не факт, что оно потом не закончится. Математика – это не только вычисления или способность что-то посчитать (хотя и это тоже).

KYKY: Планируете ли вы когда-нибудь приехать в Минск, чтобы выступить с популярной лекцией? Если да, то что вы планируете рассказать?

А. С.: Непременно! Я планирую приехать в Минск примерно 18 мая. Уже есть предварительная устная договоренность о проведении лекции. Я надеюсь, что все получится – так что ждите, приходите сами и приводите друзей. Лекция будет открытой, бесплатной для слушателей. Что планирую рассказать? Вам решать. Если придут специалисты, то про Шарыгинские треугольники. Если широкая публика, то «Нерешённые проблемы школьной математики». А можно и то, и другое — в Минске буду с утра до вечера. Уточняющие вопросы по поводу места и времени проведения лекции мне можно будет задать по электронной почте savvateev@usdp.ru.

ТОП-5 нерешенных математических задач от Алексея Савватеева

1) Задача о простых близнецах

Предполагаю, что все читатели этого интервью знают, что такое простое число. Так вот, законы распределения простых чисел среди всех прочих натуральных чисел до сих пор изучены весьма и весьма слабо. Ясно, что два простых числа подряд идти не могут (кроме случая 2 и 3) — потому что одно их подряд идущих чисел будет чётным, то есть будет делиться на два. Однако уже через одно число простые, в принципе, имеют право появляться — и появляются в начальном отрезке числового ряда весьма часто (11 и 13, 17 и 19, 29 и 31, 41 и 43 и т. д.). Однако никто ещё не доказал и не опроверг гипотезу о том, что таких пар «простых близнецов» – бесконечное количество, то есть, они «никогда не переведутся» по мере движения вдаль по натуральному ряду чисел.

2) Хроматическое число плоскости

Формулировка этой задачи совсем уж «детсадовская» – можно ли покрасить (бесконечную во все стороны) плоскость в четыре цвета таким образом, чтобы любые две точки на расстоянии 1 метр имели разные цвета? Никто этого не знает. Доказано, что достаточно семи (!) цветов, и что трёх цветов не хватает (оба эти утверждения – очень простые). Но сколько цветов потребуется по минимуму — четырёх, пяти, шести или семи — не знает никто на свете.

3) Нечётные совершенные числа

В жизни каждого человека – ровно два совершеннолетия (а не одно, как это принято считать). Первое совершеннолетие наступает, когда ребёнку исполняется 6 лет, а второе — в 28 лет. Потому что совершенным называется число, равное сумме всех своих делителей (за исключением его самого). А вот до третьего совершеннолетия (496 лет!) вроде как никому, кроме библейских персонажей, дожить ещё не удавалось. Человечество не знает, бесконечно ли множество всех совершенных чисел, или их всего конечное количество. Пока их известно 43. Вдобавок, никто ещё не нашёл ни одного нечетного совершенного числа. Есть ли хоть одно такое? Это великая, старинная загадка!

4) Загадка Сиракуз

Якобы ею забавлялся какой-то сиракузский царь в давние времена. Впрочем, это легенда — скорее, её поставили в университете города Сиракузы. Суть загадки — в следующем. Берём любое число, например, 26. Если оно чётное (как в нашем случае), то делим на 2. Если нечётное (таким будет полученное нами из числа 26 число 13), то умножаем на 3 и прибавляем единицу: получится 40. Теперь снова чётное, делим на 2, пока делится: 20, затем 10, затем 5. Нечётное – умножаем на 3 и прибавляем 1, будет 16. Делим на 2, и достигаем через четыре шага единицы. Все проверенные на сегодня числа при проделывании описанных операций в конце концов сваливаются в единицу. Компьютеры включены, работают неустанно день и ночь, и ещё не нашли ни одного числа, которое бы не постигла данная участь. Ни на одном числе не произошло «зависания», так же как и не найден никакой новый цикл. Проблема остаётся открытой по сей день. Компьютер тут сможет помочь только в том случае, если обнаружит новый цикл: если какое-то число его «завесит», это может означать как уход в актуальную бесконечность (что было бы отрицательным решением проблемы), так и недостаток мощностей нынешних компьютеров.

5) «Волшебная» (пифагорова) комната

Давным-давно (около трёх тысячелетий назад) описаны все «пифагоровы тройки», то есть решения уравнения в целых числах (они отвечают прямоугольным треугольникам с целыми сторонами). Можно также сказать, что такие тройки описывают целые длины сторон и диагоналей некоторых прямоугольников. Естественно возникает следующая задача: найти «целочисленные прямоугольные параллелепипеды», то есть такие комнаты, все стороны, диагонали сторон и большая пространственная диагональ (семь разных, в общем случае, чисел!) были бы целыми. Кто найдёт такую комнату, сразу же откроет для себя все вообще теоремы математики, ибо они, согласно легенде, все там прячутся!

А теперь про ВТФ – Великую Теорему Ферма

Читая труды Диофанта, Ферма делал короткие замечания на полях книги. Комментируя одну задачу, он написал: «невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата, и, вообще, никакую степень, большую степени квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком малы». Математики не могли справиться с этим утверждением более 300 лет.

P.S. Ферма утверждал, что не существует положительных целых или дробных чисел, таких, что , если n – целое число и n>2.}.

Комментарий Савватеева про короткое доказательство ВТФ (для продвинутых):

Мне кажется, что я понимаю, откуда «вырастут ноги» в схеме короткого доказательства ВТФ. Дело в том, что тайна зарыта в операции сложения точек на эллиптических кривых (я не разбирал доказательства ВТФ до конца, но шапочно знаком с началами той области, где его выполнил Уайлз). Это некоторые нетривиальные буквенные соотношения, типа «формул сокращённого умножения», но в тысячи раз сложнее и хитрее. Возможно, в какой-то момент просто выпишут конкретный вид соотношений, из которых теорема Ферма и будет следовать.

Известный математический анекдот

Математик обреченно сжимал голову ладонями. В голове гудело. «Ну почему ничего не получается? Такое простое уравнение… Нутром чую, что все правильно! А доказать не могу».

Математик застонал. Не справиться с такой ерундой! Позор, позор! Он смахнул слезу, воровато огляделся и, взяв в руки перо, начал выводить на полях тетради: «Я нашел воистину удивительное доказательство…»